Beim Doppelkopf, Skat, vielen anderen Kartenspielen und vor allem Bridge ist dieses Konzept das A und O. Da die Karten beim Doppelkopf oder Skat zufallsverteilt ist, spielt es erst langfristig eine Rolle, während beim Bridge alle Spieler in einem Turnier reihum dieselben Karten bekommen.
Am Ende eines Bridgeturniers haben alle Spieler dieselben Voraussetzungen gehabt, das sogenannte Kartenglück spielt damit keine Rolle.
In dieser absolut fairen Ausgangssituation lässt sich das Konzept des Minimax am besten illustrieren. Wer seine Ansagen beim Bridge mit guten Karten optimiert, hat die besten Chancen, am Ende als Sieger dazustehen.
Allerdings reicht das nicht ganz, weil mit dieser Bedingung nur die Offensive erfüllt wurde. Im gleichen Maße muss auch die Defensive möglichst optimal sein, da mit ihr zu hohe Ansagen der Gegner bestraft werden.
Ganz ähnlich sieht es beim Doppelkopf aus. Hier sind die Karten zwar zufallsverteilt, auf lange Dauer aber ziemlich ausgeglichen. (Im nur theoretischen Fall der unendlichen Anzahl von Spielen sogar identisch.)
Jeder Spieler bekommt mal gute und mal schlechte Karten, und er muss den Gewinn mit den guten maximieren und den Verlust mit den schlechten minimieren.
Die Freude vieler Doppelkopfspieler, die sich beglückwünschen, nachdem sie nach einer Re-Ansage aber ohne weitere Absagen die gegnerische Partei K30 spielten, ist somit unbegründet.
Eigentlich müssten sie sich ärgern, weil sie das Spiel nicht ansatzweise maximierten, anstatt sich zu freuen. Obwohl sie das Spiel gewonnen haben, haben sie im Grunde Punkte verloren, die sie am Ende einer langen Runde möglicherweise eine bessere Platzierung kosten.
Umgekehrt gilt natürlich dasselbe. Jeder bekommt mal schlechte Karten, doch viele Spieler sind frustriert und schöpfen ihre Möglichkeiten nicht maximal aus. Das Spiel wird quasi „abgeschenkt“, obwohl die optimale Verteidigung langfristig für den Gesamterfolg ausschlaggebend sein kann.
Da in diesem Artikel andere Kartenspiele nur Illustrationszwecken dienen sollen, wollen wir uns nun dem Pokerspiel zuwenden. Wie erwähnt, kommt es in der Literatur kaum vor, gilt aber beim Poker genauso wie bei den anderen Kartenspielen. Entscheidend ist auch hier der langfristige Ansatz, der mit einem Spiel wie Poker verbunden ist.
Betrachten wir uns daher nach der grundlegenden Einführung zwei thematische Beispiele aus dem Poker, die das Prinzip illustrieren. Dabei gehen wir davon aus, dass die involvierten Spieler zum ersten Mal miteinander am Tisch sitzen. Gespielt wird No-Limit Hold’em Cashgame und die beteiligten Spieler haben Stacks mit 100 BB.
Hand 1: Spieler A raist mit A ♣ K♠ auf 3 BB und bekommt einen Call vom Big Blind. Der Flop bringt K♣ 7♥ 2♦ und der Big Blind checkt. Wie sollte Spieler A nach dem Minimax-Prinzip spielen?
Antwort: Check.
Mancher Leser wird sich vielleicht verwundert die Augen reiben, doch nach dem Minimax-Prinzip ist dies die einzige logische Spielweise. Warum? Aus mehreren Gründen.
Erstens hat Spieler A fast immer die beste Hand, da ihn von den plausiblen Händen nur 77 und 22, in ganz seltenen Fällen KK und K7s schlagen.
Zweitens hat der BB nur selten eine schlechtere Hand wie KQ oder KJ, mit der er Spieler A öfters als in einer oder zwei Setzrunden auszahlt.
Auf eine C-Bet wird der BB daher in den meisten Fällen mit der schlechteren Hand folden, während er mit den beiden Sets praktisch uneinholbar vorne liegt und sehr viel Geld gewinnt, wenn in allen Setzrunden gesetzt wird.
Die Konsequenzen einer Bet sind somit nicht allzu rosig, wenn man an das Minimax-Prinzip denkt. Checkt Spieler A dagegen, können viele positive Dinge passieren.
Der BB könnte zum Beispiel Schwäche vermuten und auf dem Turn bluffen. Oder er trifft etwas und meint, seine Hand sei die beste. Oder er bekommt einen Draw und meint, die Hand in irgendeiner Weise fortsetzen zu müssen.
Eine weitere Möglichkeit wäre, dass er ein Paar Siebenen, das er auf dem Flop nach einer Bet gefoldet hätte, nun höher einschätzt.
Unterm Strich ist diese Hand ein Kardinalbeispiel für das Minimax-Prinzip, weil einerseits der Gewinn mit der besseren Hand maximiert und andererseits der Verlust mit der schlechteren Hand minimiert wird.
Nun ein weiteres Beispiel, das dies auf andere Weise illustriert.
Hand 2: Dieses Mal hat Spieler A K♠ J♠ und callt auf dem Button einen Raise auf 3 BB von Spieler B aus früher Position. Der Flop bringt A ♠ 8♣ 2♠. Spieler B setzt 4 BB. Wie sollte Spieler A nach dem Minimax-Prinzip spielen?
Antwort: Nicht eindeutig, aber auf keinen Fall Fold. Ob ein Call oder ein Raise besser ist, hängt von Spieler B bzw. dessen Spektrum ab. Lassen wir dies daher außen vor und beweisen lieber, warum ein Fold nach dem Minimax-Prinzip falsch ist.
Im Pot sind 7,5 BB, d.h. dass Spieler A, wenn er immer foldet, in 100 Händen sämtliche 750 BB an Spieler B abgibt. Callt er stattdessen, investiert er zwar weitere 4 BB, spart aber auf jeden Fall Geld. Warum?
In etwa einem von drei Fällen trifft er bis zum River seinen Flush (und damit die Nuts) und gewinnt die im Pot befindlichen 11,5 BB (also in 100 Händen 383,30 BB (11,5 x 33,33).
In den anderen Fällen verliert er den Pot (also in 100 Händen 766,60 BB (11,5 x 66,66) + die 266,66 BB (4 x 66,6), die er zusätzlich investiert hat. Saldiert ergibt das einen Verlust von gerundet 650 BB, also 100 BB weniger, als wenn er immer foldet.
Dabei noch nicht eingerechnet sind sogar die potentiellen Gewinne auf dem Turn oder River, wenn der Flush ankommt, wodurch das Weiterspielen noch profitabler wird.
Diese Hände zeigen sehr gut den Kern des Minimax-Prinzips. Ziel ist nicht, (ob beim Poker, Doppelkopf oder wo auch immer) eine Hand zu gewinnen, sondern das optimale Ergebnis zu erzielen. Beim Poker geht es darum, möglichst viel Geld zu gewinnen bzw. möglichst wenig zu verlieren, bei den anderen Spielen gilt dasselbe mit Punkten.
In der simpelsten Form leuchtet dies auch blutigen Amateuren ein. Raisen sie vor dem Flop mit Assen und alle Gegner werfen weg, beklagen sie sich, weil sie mit der besten Hand mal wieder keine Auszahlung bekamen. Hier erkennen sie, dass es darum geht, nicht die Hand, sondern Geld zu gewinnen.
Zum Minimax-Prinzip gehört daher auch, mit Assen die Höhe des Raise zu bestimmen. Das Optimum ist spieltheoretisch schwer zu ermitteln, doch wird selbst ein Amateur bei der genannten Konstellation mit 100 BB pro Spieler kaum auf die Idee kommen, direkt All-In zu gehen. Damit minimiert er zwar den Verlust, falls seine Asse überholt worden wären, doch bekommt er auch keinen Call, der zu weiteren Gewinnen führen kann, und schneidet damit auf Dauer unprofitabel ab.
In der Praxis gilt es vor allem im Anfänger- bis Fortgeschrittenenbereich, das Minimax-Prinzip möglichst immer im Auge zu behalten. Die vermutlich beste Hand zu haben, reicht nicht aus, vielmehr geht es darum, die eigene Spielweise im Gewinn/Verlustsinne zu optimieren.
